Memahami Relasi Himpunan

Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda-benda tertentu yang menjadi satu kesatuan karena memiliki suatu kesamaan. Contoh: himpunan buah-buahan, himpunan sayuran, himpunan bilangan asli atau himpunan anak-anak kelas XI. Benda atau objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota himpunan atau elemen himpunan atau unsur himpunan. Suatu himpunan ditulis dengan huruf kapital, misal A, B, C. Sedang anggota hipunan ditulis dengan huruf kecil, misal a, b, c. Untuk mendefinisikan himpunan terdapat dua cara, yaitu:

1.     Enumerasi atau mendaftar

Contoh:

A = {persegi, persegi panjang, layang-layang, belah ketupat, trapesium}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

C = {segitiga sama sisi, segitiga sama kaki, segitiga sembarang}

2.     Membangun himpunan

Contoh:

A = {a|a adalah bangun datar segi empat}

C = {c|c adalah macam-macam segitiga menurut panjang sisi-sisinya}

Relasi

Relasi adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat Abstrak dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis. Jika R suatu relasi yang menghubungkan  dengan , maka kita dapat menulisnya dengan  atau . Dimana x disebut prapeta y, y disebut peta atau bayangan dari x (ditulis: y = R(x)). Himpunan A disebut Daerah Asal atau Domain, himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dan himpunan yang dibentuk dari prapeta pada anggota A yang merupakan anggota himpunan B disebut daerah hasil atau range. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

 Contoh

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36} dan R  relasi dari A ke B yang ditunjukkan dengan “kuadrat dari”, maka relasi tersebut dapat digambarkan seperti diagram di bawah ini.

 Relasi tersebut memiliki

Domain      : {1, 2, 3, 4, 5}

Kodomain  : {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36}

Range         : {1, 4, 9, 16, 25}

        Berikut ini disajikan beberapa konsep yang didefinisikan berkaitan dengan s himpunan.
  

          Himpunan kosong

          Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota yang dinyatakan       dengan ф atau {}.

      Contoh : himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2.

 Himpunan berhingga dan tak berhingga

  Suatu himpunan disebut himopunan berhingga bila banyak anggota himpunan menyatakan bilangan tertentu, atau juga dapat dikatakan suatu himpunan disebut berhingga bia anggota-anggota tersebut dapat dihitung, maka proses penghitungannya berakhir. Begitu juga sebaliknya untuk pengertian dari himpunan tak berhingga.
      

          Contoh :
          Himpunan berhingga        : himpunan nama hari dalam seminggu.
          Himpunan tak berhingga  : himpunan bilangan real.

      Himpunan di dalam himpunan

•   Pada gambar tersebut semua anggota A ada di dalam himpunan B, maka A disebut bagian dari   B, ditulis A⊂B dibaca A himpunan bagian dari B.

        Keterangan :
            
         #  Himpunan A disebut himpunan bagian dari B ditulis A⊂B jika dan hanya jika                           untuk setiap     x anggota A maka x anggota B.

         #  dapat dikatakan bahwa A disebut bukan himpunan bagian dari B jika dan hanya jika               ada x anggota A dan x bukan anggota B dan dapat ditulis A ⊄B jhj ∃ x∈A dan  x∉B.

   Himpunan bagian sejati

A disebut himpunan bagian sejati dari B jika dan hanya jika A⊂B dan B⊄A.

Contoh :

Diketahui A={0, 2, 4, 6}, dan B={0, 2, 4, 6, 8}. Jelas bahwa A himpunan bagian sejati B.

Dua himpunan yang sama
                                                                
      Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang sama, ditulis A=B jika dan hanya jika anggota-anggota A tepat sama dengan anggota B artinya setiap anggota A ada diB dan dapat ditulis A=B jhj A⊂ B dan B⊂A.

Dua himpunan yang ekivalen

Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang Ekivalen, ditulis A∞B jika dan hanya jika :
         a.       n(A)=n(B), untuk A dan B himpunan berhingga.
         b.       A dan B berkorespondensi satu-satu, untuk A dan B himpunan tak berhingga.

    Himpunan kuasa

   Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua himpunan        bagian dari himpunan A dan dtulis 2^A.
    
          Contoh
         A={2, 4}
        2^A ={∅,{2},{4},{2, 4}}

Dari contoh tersebut dapat disimpulkan :

Jika A adalah himpunan, n(A)=k, maka banyaknya anggot himpunan kuasa dari A ditulis n(2^A)=2^k.

Memahami Konsep Himpunan

Himpunan merupakan segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Lambang Himpunan

Himpunan biasanya diberi nama dengan huruf besar (kapital), seperti A, B, C, ..., Z. Benda atau objek yang termasuk Anggota Himpunan ditulis diantara kurung kurawal {...}, dan anggota satu dengan yang lainnya dipisahkan dengan tanda koma. Anggota yang sama cukup ditulis sekali.

Contoh:

a. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

b. P = {a, e, i, o, u}.

c. Q = {kucing, kambing, sapi}.

Anggota dan Bukan Anggota Himpunan

Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan disebut Anggota atau Elemen dari himpunan itu dan dinotasikan Dengan ∈.

Misalkan:

A = {1, 2, 3, 4, 5}.

Anggota dari A adalah 1, 2, 3, 4 dan 5. Dapat ditulis 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∈ A, 4 ∈ A, 5 ∈ A.

Adapun benda atau objek yang tidak termasuk dalam suatu himpunan dikatakan Bukan Anggota Himpunan atau bukan elemen himpunan dandinotasikan Dengan ∉.

Misalkan:

A = {1, 2, 3, 4, 5}.

Karena 6, 7, dan 8 bukan anggota A, maka ditulis 6 ∉ A, 7 ∉ A, dan 8 ∉A.

Pengertian, Teori, Konsep dan Jenis Himpunan Matematika

• Notasi Himpunan

sebuah himpunan biasanya dinyatakan dengan simbol simbol tertentu, biasanya sebuah himpunan dinyatakan dengan menggunakan huruf besar/kapital seperti A, B, C, D, E, dst. atau bisa juga ditandai dengan adanya Kurung Kurawal, {…} sedangkan anggota dari himpunan tersebut biasanya ditandai dengan menggunakan huruf alfabet kecil seperti a,b,c,d,e, dst. 

Untuk menyatakan sebuah himpunan, ada 4 buah cara yang bisa dilakukan. yaitu:

• Enumerasi

Enumerasi adalah cara menyatakan himpunan dengan menuliskan seluruh anggota himpunan di dalam kurung kurawal. Setiap anggota di dalamnya dipisahkan dengan tanda koma. Misalnya: x = {s,a,p,i}

• Simbol baku

Ada beberapa simbol tertentu yang sudah disepakati untuk menyatakan sebuah himpunan. sebagai contoh, simbol P biasanya digunakan utnuk menyatakan himpunan bilangan bulat positif, sedangkan huruf R digunakan untuk menyatakan sebuah himpunan yang berisi bilangan riil.

• Notasi pembentukan himpunan

himpunan juga bis dinyatakan dengan cara menulis ciri-ciri umum dari anggota yang ada di dalam himpunan tersebut. misalnya: A = {x|x adalah himpunan bilangan riil}

• Diagram venn

adalah cara menyatakan sebuah himpunan dengan menggambarkannnya dalam bentuk grafis. masing masing himpunan digambarkan dalam sebuah lingkaran dan dilingkupi olah himpunan semesta yang dinyatakan dalam bentuk persegi empat seperti pada gambar berikut:

Diagram Venn

Cara Membandingkan Bilangan Bulat

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Berikut ini cara membaca, menulis, membandingkan, dan mengurutkan bilangan.

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari :

- Bilangan bulat positif, yaitu 1,2,3,4,5,...dan seterusnya

- Bilangan bulat negatif, yaitu -1,-2,-3,-4,-5,...dan seterusnya

- Bilangan 0 (nol) yang disebut juga bilangan netral

Lawan suatu Bilangan

Contoh :

• -3 adalah lawan dari 3
• -5 adalah lawan dari 5 
• Bilangan lawan dari bilangan asli disebut juga bilangan bulat negatif

Mengenal Bilangan Bulat

Kita sudah mempelajari bilangan-bilangan yang dimulai dari nol sampai tak terhingga. Selama ini yang kita pelajari 0 (nol) adalah bilangan terkecil. Tetapi, tahukan kamu bahwa ada bilangan yang lebih kecil dari 0.

• Mengenal Bilangan Bulat Positif dan Negatif

Bilangan-bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, … disebut bilangan cacah, sedangkan 1, 2, 3, 4, 5, … disebut bilangan asli. Jadi, bilangan cacah adalah gabungan dari bilangan nol dan bilangan asli.

Bilangan Asli

Adakah lawan bilangan asli? Bagaimana melambangkannya? Bilangan nol, bilangan asli, dan lawan bilangan asli disebut bilangan bulat. Perhatikan garis bilangan bulat di bawah ini.

Perbandingan Bilangan Bulat

• Membaca dan Menulis Lambang Bilangan Bulat Setelah mengenal bilangan bulat positif maupun bilangan bulat negatif, bagaimana cara membaca dan menuliskan bilangan bilangan tersebut? Mari kita pelajari. Bilangan asli atau bilangan bulat positif sudah sudah sangat kita kenal, sedangkan untuk bilangan negatif cara membacanya diawali dengan kata negatif di depan bilangan.

         Contoh: 10 dibaca sepuluh –10 dibaca negatif sepuluh negatif sembilan puluh sembilan          dituliskan –99 seratus lima dituliskan 105 

• Penggunaan Bilangan Bulat Negatif Mengapa harus ada bilangan negatif? Pernahkah kamu mendengar kalimat-kalimat seperti di bawah ini?

           a. Suhu di daerah kutub dapat mencapai lima belas derajat di bawah nol.

           b. Daerah itu rawan banjir karena ketinggiannya lima sentimeter di bawah                                       permukaan air laut.

bagaimana menuliskan bilangan lima belas derajat di bawah nol? Bagaimana pula menuliskan bilangan lima sentimeter di bawah permukaan air laut? Bilangan-bilangan tersebut dapat kita tuliskan dengan menggunakan bilangan bulat negatif. Lima belas di bawah nol dapat dituliskan –15. Lima di bawah permukaan dapat dituliskan –5. Jadi, dua kalimat di atas dapat dituliskan sebagai berikut a. Suhu di daerah kutub dapat mencapai –15 derajat. b. Daerah itu rawan banjir karena ketinggiannya –5 cm.

• Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan Bulat Telah kita pelajari di depan bahwa bilangan negatif lebih kecil dari nol. Mari kita perhatikan garis bilangan berikut ini.

Perbandingan Bilangan Bulat

Semakin ke kiri nilai bilangan semakin kecil. Sebaliknya, semakin ke kanan nilai bilangan semakin besar.Sekarang, mari kita lengkapi perbandingan bilangan bulat di bawah ini dengan memberi tanda lebih besar (>) atau lebih kecil (<).

Nah kawan, dengan membandingkan dua bilangan bulat, kamu dapat mengurutkan bilangan-bilangan bulat dari yang terkecil maupun dari yang terbesar. Untuk membantu mengurutkan bilangan-bilangan bulat, dapat kita gunakan garis bilangan .

Contoh: Urutkan bilangan-bilangan berikut ini. –5, 10, –25, 20, –10, 0, 30 

Jawab: Masing-masing bilangan tersebut dapat dituliskan pada garis bilangan di bawah ini.

Mengurutkan Bilangan

Urutan bilangan dari yang terkecil adalah –25, –10, –5, 0, 10, 20, 30 Urutan bilangan dari yang terbesar adalah 30, 20, 10, 0, –5, –10, –25

Penjumlahan Bilangan Bulat

Sebelum mempelajari penjumlahan bilangan bulat lebih lanjut, penjumlahan yang melibatkan bilangan nol dan bilangan bulat positif harus sudah kamu kuasai dengan baik.

• Penjumlahan Menggunakan Garis Bilangan

          Penjumlahan bilangan dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan dengan                          membuat diagram panah yang menyertakan bilangan.

Mengenal Bilangan Bulat dengan Diagram Panah

Sebuah bilangan bulat dapat ditunjukkan dengan Diagram Panah pada garis bilangan yang mempunyai panjang dan arah. Panjang diagram panah menunjukkan banyaknya satuan, sedangkan arahnya menunjukkan positif atau negatif.

Jika diagram panah menuju ke arah kanan, maka anak panah tersebut menunjukkan bilangan bulat positif. Jika diagram panah menuju ke kiri, maka anak panah tersebut menunjukkan bilangan bulat negatif. Menunjukkan bilangan 7

Pada perbandingan dua bilangan bulat, digunakan tanda-tanda sebagai berikut :

•   > (dibaca lebih dari)
•   < (dibaca kurang dari)
•   = (dibaca sama dengan)

Contoh :

* 4 > 2 di baca 4 lebih besar dari 2, karena letak 4 di sebleah kanan 2

* 1 < 3 di baca 1 lebih kecil dari 3, karena letak 1 disebelah kiri 3

* -2 < 0

* -3 > -4

Pembagian bilangan bulat

Rumus Operasi pembagian bilangan bulat adalah sebagai berikut :

Contoh 1

Sifat - sifat Operasi bilangan bulat

a. Sifat Komutatif (Pertukaran)

Rumus

Untuk a dan b bilangan bulat, jika letak a dan b di tukar, maka hasil penjumlahan dan perkaliannya  tetap (tidak berubah)

Contoh :

5 + 1 = 6 hasilnya sama dengan 1 + 5 = 6

5 x 7 =35 hasilnya sama dengan 7 x 5 = 35

b. Sifat Asosiatif (Pengelompokan)

Rumus

Untuk a,b dan c bilangan bulat, jika Pengelompokan Suku-suku yang di jumlahkan dan dikalikan  di ubah maka hasil penjumlahan dan perkaliannya tetap (tidak berubah)

Contoh :

3 + (4 +5) = 3 + 9 = 12 hasilnya sama dengan (3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12 

3 x (4 x 5) = 3 x 20 = 60 hasilnya sama dengan (3 x 4) x 5 = 12 x 5 = 60 

c. Sifat Distributif

Rumus

Contoh :

3 x (4 + 5) = (3 x 4) + (3 x 5) = 12 + 15 = 27

3 x (4 - 5) = (3 x 4) - (3 x 5) = 12 - 15 = -3