Memahami Relasi Himpunan

Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda-benda tertentu yang menjadi satu kesatuan karena memiliki suatu kesamaan. Contoh: himpunan buah-buahan, himpunan sayuran, himpunan bilangan asli atau himpunan anak-anak kelas XI. Benda atau objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota himpunan atau elemen himpunan atau unsur himpunan. Suatu himpunan ditulis dengan huruf kapital, misal A, B, C. Sedang anggota hipunan ditulis dengan huruf kecil, misal a, b, c. Untuk mendefinisikan himpunan terdapat dua cara, yaitu:

1.     Enumerasi atau mendaftar

Contoh:

A = {persegi, persegi panjang, layang-layang, belah ketupat, trapesium}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

C = {segitiga sama sisi, segitiga sama kaki, segitiga sembarang}

2.     Membangun himpunan

Contoh:

A = {a|a adalah bangun datar segi empat}

C = {c|c adalah macam-macam segitiga menurut panjang sisi-sisinya}

Relasi

Relasi adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat Abstrak dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis. Jika R suatu relasi yang menghubungkan  dengan , maka kita dapat menulisnya dengan  atau . Dimana x disebut prapeta y, y disebut peta atau bayangan dari x (ditulis: y = R(x)). Himpunan A disebut Daerah Asal atau Domain, himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dan himpunan yang dibentuk dari prapeta pada anggota A yang merupakan anggota himpunan B disebut daerah hasil atau range. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

 Contoh

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36} dan R  relasi dari A ke B yang ditunjukkan dengan “kuadrat dari”, maka relasi tersebut dapat digambarkan seperti diagram di bawah ini.

 Relasi tersebut memiliki

Domain      : {1, 2, 3, 4, 5}

Kodomain  : {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36}

Range         : {1, 4, 9, 16, 25}

        Berikut ini disajikan beberapa konsep yang didefinisikan berkaitan dengan s himpunan.
  

          Himpunan kosong

          Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota yang dinyatakan       dengan ф atau {}.

      Contoh : himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2.

 Himpunan berhingga dan tak berhingga

  Suatu himpunan disebut himopunan berhingga bila banyak anggota himpunan menyatakan bilangan tertentu, atau juga dapat dikatakan suatu himpunan disebut berhingga bia anggota-anggota tersebut dapat dihitung, maka proses penghitungannya berakhir. Begitu juga sebaliknya untuk pengertian dari himpunan tak berhingga.
      

          Contoh :
          Himpunan berhingga        : himpunan nama hari dalam seminggu.
          Himpunan tak berhingga  : himpunan bilangan real.

      Himpunan di dalam himpunan

•   Pada gambar tersebut semua anggota A ada di dalam himpunan B, maka A disebut bagian dari   B, ditulis A⊂B dibaca A himpunan bagian dari B.

        Keterangan :
            
         #  Himpunan A disebut himpunan bagian dari B ditulis A⊂B jika dan hanya jika                           untuk setiap     x anggota A maka x anggota B.

         #  dapat dikatakan bahwa A disebut bukan himpunan bagian dari B jika dan hanya jika               ada x anggota A dan x bukan anggota B dan dapat ditulis A ⊄B jhj ∃ x∈A dan  x∉B.

   Himpunan bagian sejati

A disebut himpunan bagian sejati dari B jika dan hanya jika A⊂B dan B⊄A.

Contoh :

Diketahui A={0, 2, 4, 6}, dan B={0, 2, 4, 6, 8}. Jelas bahwa A himpunan bagian sejati B.

Dua himpunan yang sama
                                                                
      Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang sama, ditulis A=B jika dan hanya jika anggota-anggota A tepat sama dengan anggota B artinya setiap anggota A ada diB dan dapat ditulis A=B jhj A⊂ B dan B⊂A.

Dua himpunan yang ekivalen

Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang Ekivalen, ditulis A∞B jika dan hanya jika :
         a.       n(A)=n(B), untuk A dan B himpunan berhingga.
         b.       A dan B berkorespondensi satu-satu, untuk A dan B himpunan tak berhingga.

    Himpunan kuasa

   Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua himpunan        bagian dari himpunan A dan dtulis 2^A.
    
          Contoh
         A={2, 4}
        2^A ={∅,{2},{4},{2, 4}}

Dari contoh tersebut dapat disimpulkan :

Jika A adalah himpunan, n(A)=k, maka banyaknya anggot himpunan kuasa dari A ditulis n(2^A)=2^k.